Програма курсу “Рівняння математичної фізики”

  • Вступ. Основнi роздiли фiзики, закони яких виражаються у виглядi рiвнянь з частинними похiдними: електродинамiка, механiка та термодинамiка суцiльного середовища (гiдро- та аеродинамiка, теорiя пружностi, теорiя дифузiї та теплопровiдностi), квантова механiка та теорiя поля.
  • Основнi поняття та означення теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.
  • Лiнiйнi диференцiальнi рiвняння з частинними похiдними. Принцип суперпозицiї. Класифiкацiя та канонiчний вид лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними другого порядку. Характеристики.
  • Метод вiдокремлення змiнних для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними.
  • Приклади застосування метода вiдокремлення змiнних. Розв’язання рiвняння дифузiї на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних. Розв’язання хвильового рiвняння на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних. Загальна схема методу вiдокремлення змiнних. Розв’язання рiвнянь Лапласа в прямокутнику та крузi методом вiдокремлення змiнних. Рiвняння Гельмгольця в прямокутнику. Системи координат, в яких вiдокремлюються змiнни для двохвимiрного рiвняння Гельмгольця
  • Узагальненi гiпергеометричнi функцiї: означення та основнi властивостi. Зв’язок узагальнених гiпергеометричних функцiй з елементарними та спецiальними функцiями. Виродження узагальнених гiпергеометричних функцiй. Узагальнене гiпергеометричне рiвняння.
  • Сферичнi функцiї. Гармонiчнi полiноми та їх властивостi. Означення сферичних функцiй. Ортогональнiсть та повнота системи сферичних функцiй на сферi одиничного радiусу. Диференцiальне рiвняння сферичних функцiй. Загальний вигляд розв’язку рiвняння Лапласа в сферичних координатах. Розклад фундаментального розв’язку рiвняння Лапласа в ряд по сферичних функцiях. Розв’язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в кулi методом вiдокремлення змiнних.
  • Цилiндричнi функцiї. Означення та класифiкацiя цилiндричних функцiй. Спiввiдношення мiж цилiндричними функцiями Беселя, Неймана та Ганкеля. Диференцiальне рiвняння для цилiндричних функцiй. Цилiндричнi функцiї у випадку, коли незалежна змiнна прямує до нуля або до нескiнченностi. Метод перевалу. Ортогональнiсть i повнота системи цилiндричних функцiй на вiдрiзку. Загальний вигляд розв’язку рiвняння Лапласа в цилiндричних координатах. Розв’язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в цилiндрi методом вiдокремлення змiнних.
  • Узагальненi функцiї. Основнi функцiї та їх властивостi. Ядро осереднення. Означення та приклади регулярних i сингулярних узагальнених функцiй. Диференцiювання та iнтегрування узагальнених функцiй. Замiна змiнних в узагальнених функцiях. Множення узагальнених функцiй на основну функцiю. Згортка узагальнених функцiй. Регуляризацiя узагальнених функцiй. Перетворення Фур’є узагальнених функцiй. Функцiя Хевiсайда та d-функцiя Дiрака: їх означення, властивостi та фiзична iнтерпретацiя.
  • Фундаментальний розв’язок. Означення фундаментального розв’язку лiнiйного диференцiального рiвняння. Теорема про iснування та єдинiсть розв’язку лiнiйного диференцiального рiвняння iз сталими коефiцiєнтами. Фундаментальний розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння iз звичайними похiдними. Розв’язок задачi Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння за допомогою фундаментального розв’зку.
  • Рiвняння дифузiї. Фундаментальний розв’язок рiвняння дифузiї в n-вимiрному просторi. Розв’язок задачi Кошi та межових задач з однорiдними межовими умовами для рiвняння дифузiї.
  • Хвильове рiвняння. Фундаментальний розв’язок хвильового рiвняння в n-вимiрному просторi, зокрема в 1-,2-,3-вимiрних просторах. Розв’язок задачi Кошi та межових задач з однорiдними межовими умовами для хвильового рiвняння в n-вимiрному просторi. Збудження хвиль точковим джерелом.
  • Метод спуска. Приклади.
  • Рiвняння Лапласа та Пуасона. n-вимiрнi сферичнi координати та фундаментальний розв’язок рiвняння Лапласа в n-вимiрному просторi. Функцiя Грiна задачi Дiрiхле. Функцiя Грiна для n-вимiрного пiвпросторi та n-вимiрнї кулi. Розв’язок задачi Дiрiхле в n-вимiрному пiвпросторi за допомогою функцiї Грiна. Розв’язок задачi Дiрiхле в n-вимiрнiй кулi за допомогою функцiї Грiна.

Leave a Reply