Програма курсу «Комплексний аналіз»

  1. Комплекснi числа. Означення, модуль та аргумент комплексного числа. Зображення комплексних чисел. Тригонометрична та показникова форми комплексного числа. Основнi операцiї над комплексними числами та поле комплексних чисел. Алгебраїчна замкненiсть поля комплексних чисел.
  2. Послiдовностi комплексних чисел. Граничнi точки. Нескiнченно вiддалена точка та компактифiкацiя поля комплексних чисел. Стереографiчна проекцiя. Сфера Рiмана.
  3. Функцiя комплексної змiнної. Неперервнi функцiї. Однозначнi, багатозначнi, багатолистнi функцiї. Iнтеграл вiд функцiї комплексної змiнної.
  4. Елементарнi функцiї комплексної змiнної та їх властивостi (однозначність, області однолистності, аналітичні властивості). Функції w=zn і w=nЦz; функція Жуковського w=1/2(z+1/z); показникова функція і логарифм; тригонометричні і гіперболічні функції; узагальнена степенева функція w=za.
  5. Похiдна функцiї комплексної змiнної. Формальнi похiднi Кошi. Аналiтична функцiя. Умови Кошi-Рiмана в декартових, полярних i довiльних ортогональних координатах.
  6. Аналiтичнi функцiї. Означення та основнi властивостi аналiтичних функцiй. Геометрiчна iнтерпретацiя аналiтичної функцiї. Змiст модуля та аргумента похiдної. Поняття конформного вiдображення.
  7. Iнтеграл вздовж замкненого контура вiд аналiтичної функцiї в однозв’язнiй та багатозв’язнiй областi. Iнтегральна формула Кошi. Теорема про середнє значення. Теорема про максимум модуля. Формула Кошi для похiдної аналiтичної функцiї. Оцiнки модуля похiдної аналiтичної функцiї. Нескiнченна диференцiйовнiсть аналiтичної функцiї. Три означення аналiтичної функцiї. Теорема Лiувiлля. Теорема Морера.
  8. Представлення аналiтичної функцiї степеневим рядом. Нулi аналiтичної функцiї. Єдинiсть задання аналiтичної функцiї. Аналiтичне продовження. Представлення рядом Лорана однозначної функцiї, що аналiтична в кiльцi.
  9. Класифiкацiя особливих точок однозначних аналiтичних функцiй. Цiлi функцiї. Мероморфнi функцiЇ. Поведiнка однозначної аналiтичної функцiї в околi в околi полюса та суттєво особливої точки.
  10. Означення лишка. Методи обрахунку лишка однозначної аналiтичної функцiї. Обчислення лишка в полюсi. Лишок в нескiнченно вiддаленiй точцi. Основна теорема теорiї лишкiв. Обчислення контурних iнтегралiв. Обчислення невласних iнтегралiв дiйсного аналiзу за допомогою теорiї лишкiв. Логарифмiчний лишок.
  11. Плоскi векторнi поля. Потенцiальнi та соленоiдальнi поля. Комплексний потенцiал. Побудува еквiпотенцiалней та силових лiнiй плоского векторного поля за комплексним потенцiалом. Аналiтична функцiя як комплексний потенцiал. Критичнi та особливi точки та їх фiзична iнтерпретацiя.
  12. Гармонiчнi функцiї. Аналiтичнi та спряженi гармонiчнi функцiї. Побудова гармонiчної функцiї за спряженою. Iнварiантнiсть оператора Лапласа вiдносно конформних вiдображень.
  13. Задача Дiрiхле. Розв’язання задачi Дiрiхле за допомогою функцiї Грiна. Функцiя Грiна задачi Дiрiхле. Означення, фiзичний змiст. Формула Грiна. Побудова функцiї Грiна для пiвплощини та круга.
  14. Основна задача теорiї конформних вiдображень. Формулювання основної задачі теорії конформних відображень. Теорема Рімана. Нормування конформного відображення.
  15. Перетворення Мебіуса. Основні властивості перетворення Мебіуса (дробово-лінійних відображень). Конформне відображенні комплексної півплощини в півплощину та круг.
  16. Відображення багатокутників. Відображення багатокутників. Інтеграл Шварца-Христоффеля.

Добавить комментарий