Запитання до іспиту

1. Основнi поняття та означення теорiї диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними. Принцип суперпозицiї для лiнiйних диференцiальних рiвнянь та приклади його застосування.
2. Класифiкацiя та канонiчний вид лiнiйного диференцiального рiвняння з частинними похiдними другого порядку. Характеристики.
3. Метод вiдокремлення змiнних для лiнiйних диференцiальних рiвнянь з частинними похiдними та приклади його застосування.
4. Розв’язок рiвняння дифузiї на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних. Приклад.
5. Розв’язок хвильового рiвняння на вiдрiзку методом вiдокремлення змiнних. Приклад.
6. Розв’язок рiвняння Лапласа та Пуассона в прямокутнику методом вiдокремлення змiнних. Приклад.
7. Розв’язок рiвняння Лапласа та Пуассона в крузi та кiльцi методом вiдокремлення змiнних. Приклад.
8. Гармонiчнi полiноми та їх властивостi. Означення сферичних функцiй.
9. Ортогональнiсть та повнота системи сферичних функцiй на сферi одиничного радiусу. Диференцiальне рiвняння сферичних функцiй.
10. Представлення фундаментального розв’язку рiвняння Лапласа у виглядi ряду по сферичних функцiях у випадку, коли особлива точка фундаментального розв’язку i центр координат не спiвпадають.
11. Загальний вигляд розв’язку рiвняння Лапласа в сферичних координатах.
12. Розв’язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в кулi методом вiдокремлення змiнних. Приклад.
13. Означення та класифiкацiя цилiндричних функцiй. Спiввiдношення мiж цилiндричними функцiями Беселя, Неймана та Ханкеля. Iнтегральнi зображення цилiндричних функцiй.
14. Цилiндричнi функцiї у випадку, коли незалежна змiнна прямує до нуля або до нескiнченностi. Метод перевалу. Приклади.
15. Диференцiальне рiвняння для цилiндричних функцiй. Ортогональнiсть i повнота системи цилiндричних функцiй на вiдрiзку. Ряди Фур’є-Бесселя.
16. Загальний вигляд розв’язку рiвняння Лапласа в цилiндричних координатах.
17. Розв’язок задачi Дiрiхле для рiвняння Лапласа в цилiндрi методом вiдокремлення змiнних. Приклад.
18. Означення узагальнених функцiй. Основнi функцiї та їх властивостi. Ядро осереднення. Означення та приклади регулярних та сингулярних узагальнених функцiй.
19. Диференцiювання узагальнених функцiй. Приклади.
20. Замiна змiнних в узагальнених функцiях. Приклади. Множення узагальнених функцiй на основну функцiю. Приклади.
21. Згортка та перетворення Фур’є узагальнених функцiй. Приклади.
22. Означення d-функцiї та її фiзична iнтерпретацiя. Диференцiювання та замiна змiнної в d-функцiї. Множення d-функцiї на основну функцiю. Згортка d-функцiї з узагальненими функцiями. Перетворення Фур’є вiд d-функцiї.
23. Фундаментальний розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння. Теорема про iснування та єдинiсть розв’язку лiнiйного диференцiального рiвняння iз сталими коефiцiєнтами.
24. Фундаментальний розв’язок лiнiйного диференцiального рiвняння iз звичайними похiдними. Розв’язок задачi Кошi для лiнiйного диференцiального рiвняння за допомогою фундаментального розв’зку.
25. Фундаментальний розв’язок рiвняння дифузiї в n-вимiрному просторi. Розв’язок задачi Кошi та межових задач з однорiдними межовими умовами для рiвняння дифузiї.
26. Метод спуску. Приклади.
27. Фундаментальний розв’язок хвильового рiвняння в 1-вимiрному просторi. Розв’язок задачi Кошi.
28. Фундаментальний розв’язок хвильового рiвняння в 2-вимiрному просторi. Розв’язок задачi Кошi.
29. Фундаментальний розв’язок хвильового рiвняння в 3-вимiрному просторi. Розв’язок задачi Кошi. Збудження хвиль точковим джерелом.

Бажаємо успiхiв!